Лепестки роз не поместились в евклидово пространство. И ради этого изменили свою форму

Физики из Израиля объяснили, почему форма лепестков роз отличается от формы таких же частей цветка у других растений. Ученые описали поверхность лепестка несовместимостью Майнарди — Кодацци — Петерсона — геометрической нестабильностью, которая возникает в том случае, когда кривизна объекта не позволяет ему уместиться во внешнем пространстве (в случае розы это евклидово трехмерное пространство). Авторы отметили, что их результат станет полезным для создания материалов изменяющейся формы. Свою работу на стыке физики, математики и биологии исследователи опубликовали в Science.

Когда тонкий упругий материал (например, лист растения) увеличивается в размерах, стремясь к конкретной геометрической форме, в некоторых его местах возникают остаточные механические напряжения. По мере накопления они изменяют внешний вид листа, уменьшая неустойчивости в материале. Это явление известно как геометрическая нестабильность. Ученые неоднократно подтверждали, что для большинства растений эту нестабильность можно описать так называемой несовместимостью Гаусса — ненулевой разностью между гауссовой кривизной поверхности и значения, к которой она стремится. Более простыми словами, это ситуация, когда поверхность не может существовать в нашем евклидовом пространстве без дополнительных изменений формы.

Однако в случае роз все не так просто: дело в том, что в процессе роста на лепестках образуются каспы — точки, в которых кривая, описывающая край материала, претерпевает излом. Несовместимость Гаусса не предполагает таких точек на поверхности, вместо этого образуя протяженные, гладкие и периодические паттерны. До сегодняшнего дня ученые не находили объяснения такому несоответствию.

Майкл Моше (Michael Moshe) из Еврейского университета в Иерусалиме совместно со своими коллегами из Израиля предположил, что форма лепестков роз подчиняется несовместимости Майнарди — Кодацци — Петерсона — более общему типу несовместимости, чем гауссово.

Сначала физики проанализировали, как менялась форма лепестка у розы сорта Red Baccara. Для этого они сравнили лепестки разных размеров одного растения и заметили, что чем меньше образец (и соответственно моложе), тем равномернее была кривизна края. И наоборот — лепестки больших и старых экземпляров изменили свою морфологию, превратившись в многоугольники с относительно острыми уступами. Чтобы выяснить, какой геометрической нестабильностью можно описать подобную поверхность, исследователи сняли механические напряжения с материала, вырезав тонкие полоски из лепестков — параллельно и перпендикулярно краю. В первом случае полоски стали плоскими, а во втором — изогнутыми вниз, то есть в полярных координатах азимутальная кривизна исчезла в нулевой точке, а радиальная кривизна оказалась конечной и положительной.

В итоге каждый лепесток розы имел три различных области деформации: внешнюю изогнутую, внутреннюю плоскую и касп. В связи с этим физики предположили, что подобную геометрию нужно описывать более общей моделью — несовместимостью Майнарди — Кодацци — Петерсона. Этот тип несовместимости универсальнее по сравнению со случаем Гаусса, поскольку рассматривает не только поверхности, но и объекты большей размерности внутри пространств, а также накладывает дополнительные ограничения на метрики, когда заданная кривизна невозможна для выбранного многообразия. С точки зрения физики эта модель означает, что форма лепестка изменилась таким образом, чтобы минимизировать суммарную энергию растяжения и изгиба.

Свое предположение физики подтвердили численными методами, а также экспериментально. Ученые смоделировали лепесток розы как упругий сектор в увеличивающемся тонком диске: проварьировав параметры упругости и начальной кривизны, авторы работы нашли их точные значения, при которых модель полностью повторила процесс естественного роста лепестков. Затем исследователи изготовили искусственные лепестки роз из полилактида, после чего изменили их параметры (радиус, толщину и кривизну) в соответствии с численными результатами. В итоге синтетические лепестки повторили все предсказанные морфологические переходы — в конце физики даже собрали структуру, напоминающую настоящий бутон розы.

Авторы работы отметили, что экспериментально не зафиксировали в лепестке обратной механической связи на ранних стадиях роста, то есть изменение его формы не повлияло на рост тканей и не изменило геометрию сосудистой сети. Однако для больших и старых образцов ученые увидели вогнутые искривления и повреждения волокнистых пучков в области каспа. Также физики подчеркнули, что их исследование может стать полезным в материаловедении для разработки новых материалов и структур, изменяющих свою форму.

Мы уже рассказывали в нашем материале «Происхождение совершенства», как математика объяснила, когда и почему растения свернулись в идеальную спираль.

Источник